概論：

一維隨機變量期望與方差

二維隨機變量期望與方差

協方差

1.一維隨機變量期望與方差：

公式：

離散型：

E（X）=∑i=1->nXiPi

Y=g（x）

E（Y）=∑i=1->ng（x）Pi

連續型：

E（X）=∫-∞->+∞xf（x）dx

Y=g（x）

E（Y）=∫-∞->+∞g（x）f（x）dx

方差：D（x）=E（x2）-E2（x）

標準差：根號下的方差

常用分布的數學期望和方差：

0~1分布 期望p 方差p（1-p）

二項分布B（n，p） 期望np，方差np（1-p）

泊松分布π（λ） 期望λ 方差λ

幾何分布 期望1/p ，方差（1-p）/p2

正態分布 期望μ，方差σ2

應該是1/12。其過程是，(X,Y)的密度函數f(x,y)=2，(x,y)∈D、f(x,y)=0，(x,y)?D。∴E(XY)=?Dxyf(x,y)dxdy=∫(0,1)dx∫(0,1-x)xyf(x,y)dy=∫(0,1)xdx∫(0,1-x)2ydy=。

均勻分布，期望a+b/2，方差（b-a）2/12

指數分布E（λ）期望1/λ，方差1/λ2

卡方分布，x2（n） 期望n 方差2n

期望E（x）的性質：

E（c）=c

沒問題，本來就是這么算的

E（ax+c）=aE（x）+c

E（x+-Y）=E（X）+-E（Y）

X和 Y相互獨立：

E（XY）=E（X）E（Y）

方差D（X）的性質：

D（c）=0

D（aX+b）=a2D（x）

D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）

X和Y相互獨立：

D（X+-Y）=D（X）+D（Y）

如果X、Y獨立，則：E(XY)=E(X)*E(Y)。如果不獨立，可以用定義計算：先求出X、Y的聯合概率密度，再用定義。或者先求出Cov(x,y)再用公式 Cov(X,Y)=E(XY)--E(X)*E(Y)。D（X±Y）=D（X）+D(Y)±2*。

2.二維隨機變量的期望與方差：

3.協方差：Cov（X，Y）：

D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）

協方差：

可以，因為相等，所以協方差cov（X，Y）等于零，所以不相關，所以獨立，協方差等于零就說明X與Y是獨立的，所以可以說明。

Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）

相關系數：

ρxY=Cov（X，Y）/X的標準差*Y的標準差

ρxY=0為X與Y不相關

記住：獨立一定不相關 ，不相關不一定獨立。

協方差的性質：

Cov（X，Y）=Cov（Y，X）

Cov（X，C）=0

CoV（X，X）=D（X）

Cov（ax+b，Y）=aCov（X，Y）

就是用xy的可能值乘以其發生的概率，然后求和，算不上一個公式吧