在了解了一維隨機變量、分布、隨機變量函數的分布之后，進入到多維隨機變量及其分布。總的來講多維隨機變量的及其分布與一維答題是類似的，是將一維拓展到了多維，畢竟我們研究的對象都是高維對象，呈現出來的不確定性也是多維的，X·Y聯合分布律表格怎么求，需要從多個維度進行刻畫，所以從應用的角度來講多維隨機變量的應用更廣泛。

1、多維隨機變量的分布：同樣的離散型隨機變量的分布用分布律來表示，連續性的隨機變量的分布用密度函數的積分來表示。稱之為多維隨機變量的聯合分布律。

2、邊緣分布：邊緣分布類似于函數的偏導數，就是假設其中一維不變考察另一維隨機變量的分布。如離散型隨機變量的分布律是一個二維表（x為列，y為行），固定X為某個值，則Y的分布律就為表中的對應的X列，反之相同。就是一維的簡單擴展，超過2維的離散型分布律怎么表示呢，可以用數據立方體來表示，假如還有(X，Y，Z)，那固定其中一維的分布律就變成了表，還有沒有四維空間的表示法呢？大家可以思考。

Y的分布律為-1 0 1 3/8 2/8 3/8 XY的分布律-1 0 1 2/8 4/8 2/8 E（X）=E(Y)=0 E(XY)=0 故E(XY)=E(X)E(Y)得到XY不相關 因為P(X=1，Y=1)=1/8 又因為P(X=

3、條件分布律：多維變量的條件分布律與一維的類似，形如P(X=xi|Y=yi)=P(X=xi，Y=yi)/P(Y=yi)。如果條件來自不同維度，求條件分布律如上式。需要知道聯合分布律以及邊緣分布律，同樣轉換到概率密度函數去以后關系依然存在。因為積分是線性操作。

5、多維隨機變量的函數分布：這里要分成幾個子主題：

相互獨立是關鍵。對于離散型，P(X=i, Y=j) = P(X=i) * P(Y=j)，謹記。E(XY)的求法可以先求出XY的分布律。P 0.32 0.08 0.48 0.12。E(XY) = 3 * 0.32 + 4 * 0.08 + 6 * 0.48 +

5.1：當Z=X+Y時，就是系統的效果是兩個隨機變量線性和的情況下，Z的概率密度函數是X，Y的卷積。這個是不是很像信號與系統中描述，線性系統的響應是輸入與系統沖擊響應的卷積啊！世界是如此一致和一致呀。記住一個重要的結論，有限個相互獨立的正態隨機變量的線性組合仍然服從正態分布！！如果線性系統的影響因素是正態分布，我們看到最終的結果也將呈正態分布。那大家思考一下反過來是否成立呢？就是如果我得到的結果呈現正態分布，而且知道影響因素也是正態分布，那是不是可以得出系統是線性系統呢？哈哈哈，有點超綱了，簡單做了一下拓展有興趣的同學可以思考。

5.3 M=max{X，Y}或N=min{X，Y}這種形式，假設X，Y相互獨立。因為M，N均為不連續，所以無法直接用概率密度函數來計算，所以直接用定義推出Fmax(Z)=Fx(Z)Fy(Z)，Fmin=1-[1-Fx(Z)][1-Fy(Z)]。這個可以舉個應用的例子來理解，一個系統由兩個元件組成，這兩個元件壽命相互獨立，那么系統的整體壽命將取決于元件的壽命，及其連接的結構。如果兩個元件是串聯的，那壽命模型Z=min(X，Y)，如果兩個系統是并聯的那壽命模型Z=max(X，Y)，如果采用了主備模式那系統的壽命Z=X+Y。是不是非常有用呢？相信有系統可靠性設計經驗的朋友會有感覺的。

對應的概率直接相乘比如x=1，y=0時的概率就是1/4X，1/2=1/8。解：相互獨立是關鍵。對于離散型，P（X=i，Y=j）=P（X=i）*P（Y=j），謹記。E（XY）的求法可以先求出XY的分布律。P（XY=1）=P（X=

這個世界從機械論的角度看是具有確定性的，牛頓的世界觀帶我們進入了一個嶄新的世界，但確定性世界中不確定現象閃爍著更為智慧的光芒。愿大家都能學好探索世界不確定的數據工具--概率論！（心血來潮有感）